《高等数学》是根据国家教育部非数学专业数学基础课教学指导分委员会制定的工科类本科数学基础课程教学基本要求编写的。

一、主要内容

本课程主要内容包括：

1、一元函数与初等函数；函数与数列极限的概念与计算、函数的连续性；

2、导数的概念与求导法则、微分的概念、计算；

3、一元函数微分学的应用；

4、不定积分的概念与计算；

5、定积分的概念与计算；

6、定积分的应用；

7、常微分方程的概念以及求解一阶、二阶常微分方程等；

8、空间解析几何；

9、多元函数微分学及其应用，

10、二重积分、三重积分概念及其计算，

11、曲线积分及其计算，曲面积分概念及其计算；

12、级数及其收敛性。

二、教学内容及要求、重点和难点

（一）函数、极限、连续

1、理解函数的概念。 

2、掌握函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。 

3、理解复合函数、反函数的概念。 

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 

5、会建立简单实际问题中的函数关系式。 

6、理解极限的概念（对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求。） 

7、掌握极根四则运算法则。 

8、掌握两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 

9、掌握无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 

10、掌握函数连续的概念。 

11、掌握间断点的概念，并会判别间断的类型。 

12、掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。

教学重点：函数的概念，极限的概念，无穷小，极限的四则运算，函数的连续点与间断点。

教学难点：复合函数的分解，数列极限的“ε-N”定义，函数极限的“ε-δ”、“ε-x”定义，函数在一点的连续定义。

（二）导数和微分

  1、重点掌握导数和微分的概念、导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 

  2、重点掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导，掌握基本初等函数、双曲函数的公式。理解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 

  3、了解高阶导数的概念。 

  4、掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 

  5、重点掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 

教学重点：导数的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的概念。

教学难点：导数作为变化率的概念，复合函数导数公式的运用，一阶微分形式的不变性。

（三）中值定理与导数的应用

1、理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。 

2、了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。 

3、理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 

4、会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会求解简单的最大值和最小值的应用问题。 

5、会用罗必塔法则求不定式的极限。 

6、了解曲率和曲率半径的概并会计算曲率和曲率半径。 

教学重点：拉格朗日中值定理，罗必达法则，泰勒公式。函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值、最小值问题。

教学难点：拉格朗日中值定理的证明，泰勒公式，最大值、最小值的应用问题。

（四）不定积分

1、理解不定积分的概念及性质。 

2、重点掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。 

3、会求简单的有理函数的积分。

教学重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。

教学难点：各种积分法。

（五）定积分

1、重点掌握定积分的定义，掌握定积分存在定理的叙述。

2、掌握定积分的性质与中值定理。

3、重点掌握牛顿——莱布尼兹公式。

4、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

5、理解两种反常积分的定义，掌握其计算法。

教学重点：定积分的概念，定积分的中值定理，定积分作为变上限函数及其求导定理，牛顿——莱布尼兹公式，换元积分法。

教学难点：定积分概念的理解及其利用它求函数的极限法。

（六）定积分的应用

1、理解微元法。

2、重点掌握利用定积分在几何中的应用。

3、了解定积分在物理学中的应用。

教学重点：初步掌握应用定积分解决实际问题的一般方法——培养学生运用微元分析法建立积分表达式的能力。计算平面图形的面积，立体的体积及曲线的弧长。

教学难点：定积分在物理学中的应用。

（七）常微分方程

1、掌握微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 

2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 

3、掌握齐次方程和伯努利（Bernonlli）方程。 

4、理解二阶线性微分方程解的结构。 

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 

7、掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 

教学重点：微分方程的概念、解、通解、特解、变量可分离的微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性常系数微分方程。

教学难点：微分方程的应用。

（八）向量代数与空间解析几何

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直平行的条件。 

3、掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 

4、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 

5、理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 

6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 

7、掌握曲面的交线在坐标平面上的投影。 

教学重点：向量概念，向量坐标，向量的数量积、向量积，平面的点法式方程，直线的对称方程，曲面方程的概念，一些具体的二次曲面，空间曲线的参数方程。

教学难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕法讨论二次曲面。

（九）多元函数的微分法及其应用

1、理解多元函数的概念。 

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 

3、掌握偏导数和全微分的概念。 

4、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 

5、会求隐函数的偏导数。 

6、掌握曲线的切级和法平面及曲的切平面与法线，并会求出它们的方程。 

8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 

教学重点：多元函数的概念，偏导数与全微分概念，多元复合函数的求导法则。

教学难点：全微分定义的引入，多元复合函数的求导法，曲面的切平面方程的推导。

（十）多元函数积分学

1、理解二重积分、三重积分的概念，掌握重积分的性质。 

2、掌握二重积分、三重积分的计算方法。 

教学重点：二、三重积分计算中的定限问题。

教学难点：二、三重积分计算中的积分变元的坐标变换问题。

（十一）曲线积分与曲面积分

1、了解第二类曲线积分的性质。 

2、会计算第二类曲线积分。 

3、掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 

4、了解第二类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式。 

教学重点：曲线积分的概念及计算法，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，曲面积分的概念与计算法，高斯公式，斯托克斯公式。

教学难点：曲面积分的计算法，斯托克斯公式。

（十二）无穷级数

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，重点掌握无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 

2、掌握几何级数和P—级数的收敛法。 

3、重点掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 

4、掌握莱布尼兹判别法。 

5、掌握无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 

6、重点掌握函数项级数的收敛域。 

7、会利用e, sinx, cosx, Ln(1+x)和(1+x)2的麦克劳称（Maciaurin）展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。 

教学重点：无穷级数收敛与发散的概念。正项级数的比值审敛法，级数的绝对收敛和条件收敛的关系，幂级数的收敛半径与收敛区间，泰勒级数、函数的幂级数展开式，函数的傅里叶级数，函数展开为正弦级数和余弦级数。

教学难点：正项级数比较审敛法的用法，函数的傅里叶级数展开式。