课程简介
在这门课中，我们将学习掌握四块内容：傅里叶级数、含参积分、曲线积分与曲面积分。
1807 年，法国数学家傅里叶在求解热传导方程时发现，解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出，函数可以展开成三角函数的无穷级数，这就是傅里叶级数。傅里叶级数在声学、光学、热力学、电气工程和量化分析等学科领域有非常广泛的应用，因为要研究周期性的运动就必须使用傅里叶级数。这部分内容是本课程的第一章。如果积分中带有了可以变化的参量，就成了含参量积分，其本质是一个函数，如何分析这类函数随着参量变化而变化的性质呢？这是课程第二章的内容。其中一类含参积分——欧拉积分，可极大简便积分运算，被大量运用于概率论与数理统计及分数阶微积分中。欧氏几何解决了平直、规则几何形体的面积和体积计算问题。但是，随着科技的发展，人们发现世界万物几乎没有平直的。人们不得不去处理曲边的平面图形、曲顶的立体，如圆、如球。那么，数学家们是如何克难的呢？以直代曲！也就是通过分割和近似等手段，把弯曲的微元用平直的替代。定积分如是，重积分亦如是，甚至还直接把积分定义到曲线和曲面上，建立曲线积分和曲面积分理论。到 20 世纪初，格拉斯曼，庞加莱和嘉当等人发展了外微分形式语言，把微分和积分这一对矛盾统一在斯托克斯型公式中，牛顿和莱布尼兹的微积分基本公式达到了空前的统一，近代数学在此基础上繁荣发展起来。这是课程第三章和第四章的内容。
《高阶数学分析及其应用》正是学习这些数学分析系列课程中相较复杂艰深，却有更多应用与理论实践的知识。
课程旨在培养学生严格的逻辑思维，让学生学习到优秀的数学思想，从而提高学生的理性思维素养，加强基础知识、基本理论、基本技能训练及培养学生独立思考能力。
课程大纲
第一章傅里叶级数
第一章傅里叶级数
1.1三角函数系
1.2傅里叶级数引入
1.3周期函数的傅里叶级数展开及例（周期2π）
1.4周期函数的傅里叶级数展开（周期2l）
1.5偶函数与奇函数的傅里叶级数特性及展开
1.6贝塞尔不等式
1.7傅里叶级数的逐点收敛性
1.8傅里叶级数的一致收敛、微分和积分
1.9均方收敛性
1.10帕塞瓦尔等式
1.11复数形式
1.12应用举例
第一章傅里叶级数单元测试（基础版）
第一章傅里叶级数单元测试（进阶版）
第二章含参量积分
2.1含参量正常积分的引入与概念
2.2含参量正常积分的概念与性质（下）
2.3含参量反常积分的一致收敛性（上）
2.4含参量反常积分的一致收敛性（下）
2.5含参量反常积分一致收敛性判别法
2.6一致收敛反常积分的性质
2.7反常积分的应用
2.8欧拉积分的引入与概念
2.9伽马积分的性质
2.10贝塔积分的性质
2.11伽马积分与贝塔积分的关联
2.12概率积分
2.13应用举例
第二章含参量积分单元测试（进阶版）
第二章含参量积分单元测试（基础版）
第三章曲线积分
3.1可求长曲线与第一型曲线积分的引入
3.2第一型曲线积分的计算及例
3.3曲线定向与第二型曲线积分的引入
3.4第二型曲线积分的计算及例
3.5两类曲线积分的关系
3.6格林公式
3.7曲线积分与路径无关的条件
3.8曲线积分与路径无关的条件（续）
3.9.1曲线积分的应用（上）
3.9.2曲线积分的应用（下）
第三章曲线积分章节测试（基础版）
第三章曲线积分章节测试（进阶版）
第四章曲面积分
4.1曲面面积
4.2第一型曲面积分引入及计算
4.3第一型曲面积分计算举例
4.4曲面定向与第二型曲面积分引入
4.5.1第二型曲面积分计算（上）
4.5.2第二型曲面积分计算（下）
4.6高斯公式
4.7.1斯托克斯公式（上）
4.7.2斯托克斯公式（下）
第四章曲面积分章节测试（进阶版）
第四章曲面积分章节测试（基础版）
第一章傅里叶级数
1.1三角函数系
1.2傅里叶级数引入
1.3周期函数的傅里叶级数展开及例（周期2π）
1.4周期函数的傅里叶级数展开（周期2l）
1.5偶函数与奇函数的傅里叶级数特性及展开
1.6贝塞尔不等式
1.7傅里叶级数的逐点收敛性
1.8傅里叶级数的一致收敛、微分和积分
1.9均方收敛性
1.10帕塞瓦尔等式
1.11复数形式
1.12应用举例
第一章傅里叶级数单元测试（基础版）
第一章傅里叶级数单元测试（进阶版）
第二章含参量积分
2.1含参量正常积分的引入与概念
2.2含参量正常积分的概念与性质（下）
2.3含参量反常积分的一致收敛性（上）
2.4含参量反常积分的一致收敛性（下）
2.5含参量反常积分一致收敛性判别法
2.6一致收敛反常积分的性质
2.7反常积分的应用
2.8欧拉积分的引入与概念
2.9伽马积分的性质
2.10贝塔积分的性质
2.11伽马积分与贝塔积分的关联
2.12概率积分
2.13应用举例
第二章含参量积分单元测试（进阶版）
第二章含参量积分单元测试（基础版）
第三章曲线积分
3.1可求长曲线与第一型曲线积分的引入
3.2第一型曲线积分的计算及例
3.3曲线定向与第二型曲线积分的引入
3.4第二型曲线积分的计算及例
3.5两类曲线积分的关系
3.6格林公式
3.7曲线积分与路径无关的条件
3.8曲线积分与路径无关的条件（续）
3.9.1曲线积分的应用（上）
3.9.2曲线积分的应用（下）
第三章曲线积分章节测试（基础版）
第三章曲线积分章节测试（进阶版）
第四章曲面积分
4.1曲面面积
4.2第一型曲面积分引入及计算
4.3第一型曲面积分计算举例
4.4曲面定向与第二型曲面积分引入
4.5.1第二型曲面积分计算（上）
4.5.2第二型曲面积分计算（下）
4.6高斯公式
4.7.1斯托克斯公式（上）
4.7.2斯托克斯公式（下）
第四章曲面积分章节测试（进阶版）
第四章曲面积分章节测试（基础版）